Условие
Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.
Решение
Пусть $A_1A_2A_3A_4A_5$ – пятиугольник, вписанный в окружность с центром $O$. Тогда для каждого $i=1,\ldots,5$ справедливо $S_{OA_{i-1}A_iA_{i+1}}\leq OA_i\cdot A_{i-1}A_{i+1}/2$ (считаем, что $A_{i+5}=A_i$). Сумма площадей этих пяти четырехугольников не меньше удвоенной площади пятиугольника, откуда и следует искомое неравенство.
Источники и прецеденты использования
