ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67059
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.


Решение

  Перенеся треугольник $PAB$ на вектор $\overrightarrow{AD}$, получим треугольник $QDC$. Окружность Ω также сдвинется параллельно $AD$ и перейдёт во вневписанную окружность Ω' треугольника
с центром $J$, поэтому достаточно доказать, что одна из общих касательных к Ω' и ω параллельна $AD$.
  По условию  ∠$QPD$ = ∠$PDA$ = ∠$PBA$ = ∠$QCD$,  значит, точки $C, P, D$ и $Q$ лежат на одной окружности. По известным формулам углов между биссектрисами
∠$CID$ + ∠$CJD$ = (0,5∠$CPD$ + 90°) + (90° – 0,5∠$CQD$) = 180°,  то есть точки $C, I, D$ и $J$ лежат на одной окружности. Следовательно, угол между $CD$ и $IJ$ равен
∠$CDJ$ + ∠$ICD$ = 0,5∠$CDQ$ + 0,5∠$PCD$,  а это и есть половина угла между хордами $CD$ и $PQ$.

Замечания

  1. После параллельного переноса на вектор  $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AD}$  задача превращается в такую.
  Дан произвольный вписанный четырёхугольник CPDQ. Тогда одна из общих касательных к вписанной окружности треугольника PCD и вневписанной окружности треугольника CDQ, лежащей против вершины D, параллельна PQ.
  Последнее следует из одной из вариаций известного факта о том, что прямая между соответствующими инцентрами (эксцентрами) треугольников $PCD$, $QCD$ параллельна биссектрисе между $CD$ и $PQ$ (последнее в свою очередь следует из леммы о трезубце, см. задачу 53119).

  2. 9 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 43
Дата 2021/22
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .