|
|
 |
Условие
Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?
Решение
Пусть $a, b, c, d$ – коэффициенты многочлена от старшего к младшему, α, β – известные корни, γ – неизвестный корень. Так как все корни лежат между 0 и 1, то в силу теоремы Виета $d$ – наименьший из коэффициентов по модулю.
Способ 1. Рассмотрим всевозможные расстановки коэффициентов $a, b, c$ и проверим, будут ли α и β корнями получившихся многочленов. При правильной расстановке ответ будет утвердительным. Предположим, что подойдёт и другая расстановка. Вычтем полученный многочлен из правильного и обозначим их разность $P(x)$. Её свободный член равен 0, поэтому
$P$(0) = 0. Сумма коэффициентов также равна 0, поэтому $P$(1) = 0. Кроме того, $P$(α) = $P$(β) = 0. Таким образом, многочлен степени не выше 3 имеет 4 различных корня. Противоречие.
Способ 2. Поскольку все корни многочлена положительны, знаки коэффициентов чередуются. Поэтому, зная $d$, определяем $b$. Если найти $a$, то определяется и $c$. Заметим, что $a\gamma = \frac{-d}{\alpha\beta}$. Поскольку $b = -a$(α + β + γ), можно найти $a$(α + β). Так как α и β известны, отсюда определяется $a$.
Ответ
Обязательно.
