Условие
Дан центрально-симметричный октаэдр $ABCA'B'C'$ (пары $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$ противоположны), такой, что суммы плоских углов при каждой из вершин октаэдра равны $240^{\circ}$. В треугольниках $ABC$ и $A'BC$ отмечены точки Торричелли $T_1$ и $T_2$. Докажите, что расстояния от $T_1$ и $T_2$ до $BC$ равны.
Решение
Пусть $D$ – вершина параллелограмма $AB'CD$. Тогда грани тетраэдра $ABCD$ равны граням октаэдра и суммы четырех углов, под которыми видны два противоположных ребра тетраэдра (например, $\angle CAD+\angle CBD+\angle ACB+\angle ADB$) равны $240^{\circ}$. Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – точки касания вписанной в тетраэдр сферы с гранями $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ соответственно. Тогда треугольники $A_1BC$ и $D_1BC$ равны, как и пять аналогичных пар треугольников. Следовательно,
$$\angle BD_1C+\angle BA_1C=\angle BAC+\angle ABD_1+\angle ACD_1+\angle BDC+\angle DCA_1+\angle DBA_1=$$
$$=\angle BAC+\angle BDC+\angle ABC_1+\angle ACB_1+\angle DCB_1+\angle DBC_1=240^{\circ}$$
и $\angle BD_1C=\angle BA_1C=120^{\circ}$. Аналогично $\angle AD_1B=\angle AD_1C=\angle BA_1C=\angle BA_1D=120^{\circ}$, т.е. точки $A_1$, $D_1$ совпадают с точками Торричелли, откуда, очевидно, следует утверждение задачи.
Замечания
Тетраэдры, у которых точки Торричелли граней совпадают с точками касания вписанной сферы, называются
изогональными или
жергонновыми. Известно, что в таких тетраэдрах отрезки, соединяющие вершины с точками Торричелли противоположных граней, пересекаются в одной точке, а произведения косинусов половин двугранных углов при противоположных ребрах равны. Утверждение задачи дает еще одно характеристическое свойство жергонновых тетраэдров.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2022 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
10.8 |
