ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67195
Темы:    [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Производная и касательная ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \tan x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$.

Решение

Абсцисса $x_0$ любой точки пересечения графиков данных функций удовлетворяет равенству $\cos x_0=a\tan x_0$. В этой точке касательная к графику функции $y=\cos x$ имеет угловой коэффициент $k_1=-\sin x_0$, а касательная к графику функции $y=a\tan x$ имеет угловой коэффициент $k_2=\frac{a}{\cos^2 x_0}$. Поскольку $k_1k_2=-\frac{a\tan x_0}{\cos x_0}=-1$, эти касательные перпендикулярны друг другу.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 86
Год 2023
класс
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .