Условие
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Пусть $M_{ac}$ – середина диагонали $AC$; $H_d$, $H_b$ – ортоцентры треугольников $ABC$, $ADC$ соответственно; $P_d$, $P_b$ – проекции $H_d$ и $H_b$ на $BM_{ac}$ и $DM_{ac}$ соответственно.
Аналогично определим $P_a$, $P_c$ для диагонали $BD$. Докажите, что $P_a$, $P_b$, $P_c$, $P_d$ лежат на одной окружности.
Решение
Известно, что точки $A$, $C$, $P_d$, $H_d$ лежат на окружности, симметричной окружности $ABC$ относительно $M_{ac}$. Поэтому $MA\cdot MC=MP_d\cdot MB'=MP_d\cdot MB$, где $B'$ – вершина параллелограмма $ABCB'$. Аналогично $MA\cdot MC=MD\cdot MP_b$, значит, $B$, $D$, $P_b$, $P_d$ лежат на одной окружности. Кроме того, поскольку точки $A$, $C$, $P_b$, $P_d$ лежат на одной окружности, прямые $BD$, $AC$ и $P_bP_d$ пересекаются в радикальном центре $L$. Аналогично получаем, что $P_aP_c$ проходит через $L$, причем $LP_a\cdot LP_c=LA\cdot LC=LB\cdot LD=LP_b\cdot LP_d$, откуда следует утверждение задачи.
Источники и прецеденты использования
