Задача 67247

Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Плотников М., Френкин Б.Р.

Прямая Эйлера неравнобедренного треугольника касается вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник тупоугольный.

Решение 1

Воспользуемся следующим фактом: в остроугольном неравнобедренном треугольнике прямая Эйлера пересекает наибольшую и наименьшую стороны, а в тупоугольном – две наибольшие. Пусть прямая Эйлера разрезает треугольник на треугольник и четырехугольник. Докажем, что $I$ лежит внутри четырехугольника тогда и только тогда, когда исходный треугольник тупоугольный.

Зафиксируем описанную и вписанную окружности треугольника и будем "вращать" его между ними. Форма части, в которой лежит точка $I$ может поменяться либо, когда $I$ попадает на прямую Эйлера, либо, когда эта прямая проходит через одну из вершин треугольника. Но в первом случае треугольник равнобедренный, т.е. одна из его вершин попадает на прямую $OI$ и при переходе через это положение конфигурация меняется на симметричную. Следовательно форма части не меняется. Во втором случае прямая Эйлера является медианой прямоугольного треугольника, а $I$ лежит в части, прилегающей к его меньшему катету. Когда треугольник становится остроугольным, эта часть остается треугольной, а когда тупоугольным – становится четырехугольником.

Решение 2

Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$, $O$ – центр его описанной окружности, $I$ – центр вписанной, $A'$, $B'$, $C'$ – точки касания вписанной окружности со сторонами $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Предположим, что треугольник $ABC$ не тупоугольный и точка касания прямой $OH$ с вписанной окружностью лежит на дуге $B'C'$. Тогда точки $O$, $H$ лежат внутри (или на границе) треугольника $ABC$, а значит и внутри четырехугольника $IB'AC'$. Следовательно, проекции $O$ и $H$ на $AB$ лежат на отрезке $AC'$. Но точка касания вписанной окружности со стороной лежит между серединой этой стороны и основанием опущенной на нее высоты – противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2