|
|
 |
Условие
Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN в вершине A и касательная к описанной окружности треугольника CIN в вершине C пересекаются в точке D. Докажите, что прямые AC и DI перпендикулярны.Решение
Решение 1. Рассмотрим центр $J$ вневписанной окружности треугольника $A B C$, касающейся стороны $A C$. Поскольку $\angle I A J=\angle I C J=90^{\circ}$ (биссектрисы смежных углов перпендикулярны), точки $A$ и $C$ лежат на окружности $\omega$ с диаметром IJ. По условию $\angle A C D=\angle N C D=\angle C I N=\angle C I J=\angle C A J$, аналогично $\angle C A D=\angle A C J$. Значит, треугольники $A C D$ и $C A J$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к общей стороне $A C$. Если точки $D$ и J совпадают, то треугольники $IAJ$ и $ICJ$ равны по катету и гипотенузе. Значит, прямая $I D=I J$ совпадает с указанным серединным перпендикуляром. Если они не совпадают, точка $D$ также лежит на $\omega$ и $DI \perp D J \| A C$.Решение 2. Пусть перпендикуляр, опущенный из $I$ на $A C$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $A I C$ в точке $D'$. Тогда $$ \angle D' A C=\angle D' I C=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle C=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=\angle A I N . $$
Значит, $D'A$ - касательная к описанной окружности треугольника $AIN$. Аналогично $D' C$ — касательная к описанной окружности треугольника $CIN$. Следовательно, $D$ и $D'$ совпадают.
Решение 3. Нетрудно понять, что точки $I$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $A C$. Поскольку $\angle A C D=\angle N C D=\angle C I N, \angle C A D=\angle A I N$, то $$ \angle A D C=180^{\circ}-\angle A C D-\angle C A D=180^{\circ}-\angle A I C . $$
Значит, четырёхугольник $A I C D$ вписан. Один из углов между хордами $A C$ и $D I$ равен $$ \angle D A C+\angle A D I=\angle A I N+\angle A C I=\angle I A B+\angle A B I+\angle A C I=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B+\angle C)=90^{\circ} . $$
