Условие
Даны три попарно различные точки на прямой. Сколько существует равнобедренных треугольников, в которых они являются (в каком-нибудь порядке) центрами описанной, вписанной и вневписанной окружностей?
Решение
Пусть $ABC$ – равнобедренный треугольник с вершиной $C$; $O$, $I$, $I_c$ – центры его описанной, вписанной и вневписанной (касающейся $AB$) окружностей соответственно. Тогда точки $A$, $B$, $I$, $I_c$ лежат на окружности с диаметром $II_c$, центром которой является середина $W$ дуги $AB$. Поэтому, если даны точки $O$, $I$, $I_c$, то для построения треугольника $ABC$ нужно найти середину $W$ отрезка $II_c$, построить окружности с центрами $O$, $W$ и радиусами $OW$, $WI$ соответственно, найти точки $A$ и $B$ пересечения этих окружностей, а также точку $C$, симметричную $W$ относительно $O$. При этом точка $I$ должна лежать внутри описанной окружности. Это условие всегда будет выполнено, если $O$ – одна из двух крайних точек (тогда $I$ – средняя точка). Если же $O$ – средняя из трех точек, то должно выполняться условие $OW > OI$, т.е. $OI_c : OI > 3$.
Ответ
Два, если отношение частей, на которые средняя точка делит отрезок между двумя крайними, не превосходит 3, и три в противном случае.
Источники и прецеденты использования
