Задача 67371

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Марданов А., Марданова К.

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.

Решение

Точка $Y$ является точкой пересечения диагоналей трапеции $IC_1C_2J$, поэтому $IY:IC_2=IC_1:(IC_1+JC_2)=r:(r+r_b)$, где $r$ –радиус вписанной окружности, а $r_b$ – радиус вневписанной. Соответственно, $Y$ лежит на вписанной окружности тогда и только тогда, когда $IC_2=r+r_b$, а, поскольку $C_1C_2=AC=b$, это равносильно $b^2=r_b^2+2rr_b$. Такое же условие, очевидно получаем и для точки $Z$. Перейдем к точке $X$. Пусть $BH$ – высота треугольника, $BL$ – биссектриса. Поскольку точки $B$, $L$, $I$, $J$ образуют гармоническую четверку, это верно и для их проекций $H$, $L$, $B_1$, $B_2$. Следовательно, точка $X$ пересечения боковых сторон трапеции $IB_1JB_2$ лежит на $BH$.

При этом $BX:B_2J=BI:IJ=r:(r_b-r)$, т.е. $1/BX=1/r-1/r_b=p/S-(p-b)/S=2/BH$ и $X$ – середина $BH$. Условие $IX=r$ равносильно равенству $r:BX=IB_2:r_b$, а поскольку $B_1B_2=|AB-AC|=|a-c|$, его можно переписать в виде $r_b^2-2rr_b=(a-c)^2$.

Осталось заметить, что $b^2-(a-c)^2=4(p-a)(p-c)=4S^2/(p(p-b))=4rr_b$. Таким образом, для всех трех точек условия попадания на вписанную окружность одинаковы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2024
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6