Условие
Точки $P$ и $Q$ выбираются на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что $BP=CQ$. Отрезки $AP$ и $AQ$ в пересечении со вписанной в треугольник окружностью образуют четырехугольник $XYZT$. Найдите геометрическое место точек пересечения диагоналей таких четырехугольников.
Решение
Пусть $AM$ – медиана треугольника, $B'$, $C'$ – точки касания вписанной окружности со сторонами $AC$, $AB$ соответственно. Точка $M'$ пересечения диагоналей вписанного четырехугольника $XYZT$ лежит на поляре точки пересечения его противоположных сторон $XY$ и $ZT$, т.е. на прямой $B'C'$. Пусть прямые $AP$, $AQ$ пересекают $B'C'$ в точках $P'$, $Q'$ соответственно. По обобщенной теореме о бабочке $(B'C'M'P')=(C'B'M'Q')$. Поскольку $(CBMP)=(BCMQ)$, отсюда следует, что $A$, $M$, $M'$ лежат на одной прямой.
Ответ
Точка пересечения медианы из $A$ и отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$ и $AC$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
9.7 |
