Условие
В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся гипотенузы $AB$ в точке $T$. Квадраты $ATMP$ и $BTNQ$ лежат вне треугольника. Докажите, что площади треугольников $ABC$ и $TPQ$ равны.
Решение
Пусть $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $AT=p-a$, $BT=p-b$. Тогда радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $p-c$, а его площадь
$$
S=p(p-c)=\frac{S^2}{(p-a)(p-b)}=(p-a)(p-b).
$$
Поскольку треугольник $PTQ$ – прямоугольный с катетами $PT=\sqrt{2}(p-a)$, $TQ=\sqrt{2}(p-b)$, его площадь тоже равна $(p-a)(p-b)$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
10.5 |
