Задача 67397
|
|
 |
Условие
По кругу записано несколько положительных целых чисел (не менее двух). Среди любых двух соседних чисел какое-то одно больше другого в $2$ раза или в $5$ раз. Может ли сумма всех этих чисел равняться $2023$?Решение
Рассмотрим любые два соседних числа, пусть $a$ – меньшее из них. Тогда большее равно либо $2a$, либо $5a$, и вместе с меньшим оно даёт либо $3a$, либо $6a$. Значит, сумма любых двух соседних чисел кратна $3$. Дальше можно рассуждать поразному.1-й способ. Найдём для каждого числа сумму его и следующего за ним по часовой стрелке, и все эти суммы сложим. Получим, что удвоенная сумма всех чисел кратна $3$. Значит, она не может равняться $4046$.
2-й способ. Найдём для каждого числа его отношение к следующему за ним по часовой стрелке. Каждое такое отношение равно одному из чисел $2$, $\frac12$, $5$, $\frac15$, а произведение всех таких отношений равно $1$. Значит, двоек среди этих отношений столько же, сколько и чисел $\frac12$, а пятёрок – столько же, сколько чисел $\frac15$ (по основной теореме арифметики). Тогда общее количество чисел чётно и их можно разбить на пары соседних. В каждой паре сумма кратна $3$, поэтому и вся сумма чисел – тоже, но $2023$ не делится на $3$.
3-й способ. Пусть общая сумма равна $2023$. Если общее количество чисел чётно, то их можно разбить на пары соседних. В каждой паре сумма кратна $3$, поэтому и вся сумма чисел – тоже, но $2023$ не делится на $3$. Если общее количество чисел нечётно, то выберем любое число $x$ из них, а остальные разобьём на пары соседних с суммой, кратной $3$. Получим, что $x$ имеет такой же остаток от деления на $3$, что и общая сумма $2023$, то есть остаток $1$. Но в качестве $x$ можно взять любое из чисел, поэтому все они имеют остаток $1$ от деления на $3$. Тогда сумма двух соседних имеет остаток $2$ от деления на $3$, а должна делиться на $3$ – противоречие.
