Условие
Петя и Вася нашли $100$ кубиков одинакового размера, $50$ из них были белого цвета и $50$ – чёрного. Они придумали игру. Назовём башенкой один или несколько кубиков, стоящих друг на друге. В начале игры все кубики лежат по одному, то есть имеется $100$ башенок. За один ход игрок должен одну из башенок поставить на другую (переворачивать башенки нельзя), при этом в новой башенке не должно быть подряд двух одинаковых по цвету кубиков. Ходят по очереди, начинает Петя. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?
Решение
Назовём башенку
белой, если её нижний и верхний кубики белые, и
бело-чёрной, если её нижний кубик белый, а верхний чёрный. Аналогично определяются чёрная и чёрно-белая башенки. В начале игры имеется $50$ белых и $50$ чёрных башенок. Петя из белой и чёрной башенок соберёт
разноцветную (
чёрно-белую или
бело-чёрную). В любом случае Вася, присоединяя к ней с нужной стороны белую башенку, склеивает белую башенку. В результате остаются по 49 белых и чёрных башенок. Далее Вася продолжает действовать так же, пока не оставит после своего хода две белые и две чёрные башенки. Петя своим ходом снова соберёт разноцветную башенку. Теперь Вася из оставшихся белой и чёрной башенок соберёт противоположную башенку (чёрно-белую, если Петя собрал бело-чёрную), и у Пети не будет хода.
Ответ
Вася.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
45 |
|
Дата |
2023/24 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
5 |
