Задача 67405
|
|
 |
Условие
В квадратном листе бумаги площади $1$ проделали дыру в форме треугольника (вершины дыры не выходят на границу листа). Докажите, что из оставшейся бумаги можно вырезать треугольник площади $\frac16$.Решение 1
Возьмём точку внутри треугольника и спроектируем из неё вершины треугольника на контур квадрата $ABCD$ и соединим проекции друг с другом. Получится новый треугольник, содержащий исходный. Если при этом две вершины нового треугольника окажутся на одной стороне квадрата, увеличим эту сторону треугольника так, чтобы она совпала со стороной квадрата (возможно, эту операцию придется повторить несколько раз). Достаточно доказать утверждение для последнего треугольника. Заметим, что внутри одной стороны квадрата (пусть $AD$) вершин треугольника нет. Поэтому можно считать, что вершины $K$, $L$, $M$ треугольника лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ (см. рисунок; возможно некоторые из них совпадают с вершинами квадрата).Один из отрезков $BL$, $CL$ (пусть $CL$) не меньше $\frac12$. Если при этом $CM \geqslant 2/3$, то $S_{LCM} \geqslant \frac16$. Если же $CM < \frac23$, то $S_{ADM} \geqslant \frac16$.
Решение 2
