Условие
Дан треугольник $ABC$ с углом $A$, равным $60^\circ$. Его вписанная окружность касается стороны $AB$ в точке $D$, а вневписанная окружность, касающаяся стороны $AC$, касается продолжения стороны $AB$ в точке $E$. Докажите, что перпендикуляр к стороне $AC$, проходящий через точку $D$, вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек $E$ и $C$. (Вневписанной называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.)
Решение
Пусть вписанная окружность $\omega$ с центром $I$ касается стороны $AC$ в точке $H$, вневписанная окружность из условия касается стороны $AC$ в точке $K$, перпендикуляр $DF$ из условия пересекает $\omega$ в точке $X$. Поскольку $AD = AH$, $\angle A = 60^\circ$, то треугольник $ADH$ равносторонний, а $DF$ – его высота. Так как $\angle XIH = 2\angle XDH = 60^\circ = \angle AIH$, точка $X$ лежит на прямой $AI$, то есть является центром треугольника $ADH$. По свойствам касательных вписанной и вневписанной окружностям, $AE = AK = CH$. Кроме того, $AX = HX$, $\angle EAX = 150^\circ = \angle CHX$. Следовательно, треугольники $AXE$ и $HXC$ равны, откуда $XE = XC$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
45 |
|
Дата |
2023/24 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
4 |
