Задача 67408
|
|
 |
Условие
У Васи есть $13$ одинаковых на вид гирь, но $12$ из них весят одинаково, а одна фальшивая – весит больше остальных. Также у него есть двое чашечных весов – одни правильные, а другие показывают верный результат (какая чаша тяжелее), если массы на чашах различаются, а в случае равенства могут показать что угодно (какие именно весы правильные, Вася не знает). Перед каждым взвешиванием Вася может сам выбирать весы. Докажите, что Вася может гарантированно найти фальшивую гирю за $3$ взвешивания.Решение
Будем всегда класть на чаши весов поровну гирь. Заметим, что тогда заведомо нефальшива гиря, оказавшаяся на лёгкой чаше, а в случае равенства – на любой из чаш. Обозначим весы $X$ и $Y$. Первым взвешиванием положим на чаши весов $X$ по $4$ гири.1) Весы в равновесии. Тогда фальшива одна из $5$ невзвешенных гирь. Вторым взвешиванием положим по $2$ подозрительные гири на чаши весов $X$. При равновесии фальшива невзвешенная гиря $A$.
В противном случае фальшива либо гиря $A$ (если весы $X$ неправильные), либо одна из гирь $B$, $C$ на «тяжёлой» чаше. Третьим взвешиванием сравним $B$ c $C$ на весах $Y$. При равновесии фальшива гиря $A$. В противном случае фальшива более тяжелая гиря (если бы фальшива была $A$, весы $Y$ показали бы равновесие).
2) Одна из чаш опустилась. Тогда фальшива либо одна из $4$ гирь на «тяжёлой» чаше, либо одна из $5$ невзвешенных гирь. Вторым взвешиванием положим на чаши весов $Y$ по $2$ «тяжёлые» гири и по одной из невзвешенных – $A$ и $B$. При равновесии фальшива одна из $3$ ещё не взвешенных гирь, причём весы $Y$ правильные (раз они показали равенство, все гири на них настоящие – в том числе, четыре гири, «тяжёлые» по мнению весов $X$, то есть весы $X$ соврали). С их помощью найдём за одно взвешивание одну фальшивую гирю из $3$ подозрительных.
Если одна из чаш (пусть с гирей $A$) опустилась, то фальшива одна из гирь на этой чаше (если бы фальшивая гиря была среди $3$ невзвешенных, то как весы $X$, так и весы $Y$ были бы неправильны, что не так). Более того, $A$ фальшива только если весы $Y$ правильные. Третьим взвешиванием сравним на весах $Y$ две отличные от $A$ гири с её чаши. При равновесии фальшива $A$, в противном случае – более тяжёлая гиря.
