Условие
В последовательности действительных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$ каждое число, начиная с третьего, равно полусумме двух предыдущих. Докажите, что все параболы вида $y=x^2+a_nx+a_{n+1}$ (где $n=1$, $2$, $3$, $\dots$) имеют общую точку.
Решение
Так как $$\frac12 a_{n+1}+a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{2} + \frac{a_{n+1}+a_n}{2} = \frac12 a_n + a_{n+1},$$
то $(n+1)$-я и $n$-я параболы пересекаются в точке с абсциссой $x=\frac12$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
45 |
|
Дата |
2023/24 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
1 |
