Условие
Верно ли, что сумма внутренних двугранных углов при основании треугольной пирамиды всегда меньше суммы внешних?
Решение 1
Плоскую фигуру на рисунке сверху можно рассматривать как вырожденную треугольную пирамиду $ABCS$ c двугранным углом $0^\circ$ при ребре $AB$ и двугранными углами $180^\circ$ при рёбрах $AC$ и $BC$. Сумма внутренних углов при основании равна $360^\circ$, а внешних — равна $180^\circ$. Если немного приподнять вершину $S$ над плоскостью $ABC$, двугранные углы изменятся не сильно, поэтому сумма внутренних углов останется больше суммы внешних.
Решение 2
На клетчатой плоскости рассмотрим узлы, указанные на рисунке справа. Пусть $ABC$ — основание пирамиды, а высота $SH$ пирамиды равна стороне клетки. Тогда внешний двугранный угол при $CA$ равен $\angle SXH = 45^\circ$, а внутренний равен $135^\circ$. Аналогично при ребре $CB$. Значит, сумма внутренних двугранных углов при основании больше $270^\circ$, а внешних — меньше.
Ответ
Неверно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
45 |
|
Дата |
2023/24 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
4 |
