Задача 73551

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Если многочлен с целыми коэффициентами при трёх различных целых значениях переменной принимает значение 1, то он не имеет ни одного целого корня. Докажите это.

Решение

Пусть числа c₁, c₂, c₃ и a целые,  p(c₁) = p(c₂) = p(c₃) = 1  и  p(a) = 0.  По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562) число  p(c_i) – p(a) = 1  делится на  c_i – a,  поэтому  c_i – a = ±1.  Значит, числа c₁, c₂, c₃ не могут быть различными.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М16