|
|
 |
Условие
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.Решение
Наиболее бесхитростное доказательство — индукцией по числу n автомашин — проводится так. Случай n=1 очевиден. Предположим, что для n машин утверждени е доказано. Пусть машин n+1. Тогда среди них найдется такая машина A, которая может, пользуясь лишь имеющимся в ней бензином, доехать до следующей машины B (это легко доказывается "от противного") Выльем из машины B бензин в A, и уберем B с дороги. Среди оставшихся n машин, по предположению индукции, найдется такая, которая может объехать всю дорогу, забирая по пути бензин у остальных автомашин. Ясно, что та же машина может сделать это и в первоначальной ситуации, когда на дороге n+1 машина: на участке от A до B у нее заведомо хватит бензина (из машины A), а на остальных участках у нее ровно столько же бензина, сколько в случае n машин.
Многие читатели заметили, что задача сводится к такой:
По окружности
выписано n чисел, сумма которых положительна; тогда найдется такое число,
что оно само положительно, сумма его со следующим положительна, сумма со
следующими двумя положительна и т.д. до суммы n-1 числа. (Достаточно
около каждой машины написать число, равное разности между количеством имеющегося
в ней бензина и количеством бензина, который нужен, чтобы доехать до следующей
машины.) Эту задачу большинство читателей решали методом, описанным в книжке
"Математические соревнования", ч.1 (Е.Б. Дынкин, С.А. Молчанов,
А.Л. Розенталь. Математические соревнования. Арифметика и алгебра, "Наука",
дополнительная серия "Библиотечки физико-математической школы"
вып.3(*), 1970., задачи 76-77).
Замечания
Ср. с задачей 73656.
