|
|
 |
Условие
Для любых n вещественных чисел a1, a2, ..., an существует такое натуральное k ≤ n, что каждое из k чисел ak, ½ (ak + ak–1),
⅓ (ak + ak–1 + ak–2), ..., 1/k (ak + ak–1 + ... + a2 + a1) не превосходит среднего арифметического c чисел a1, a2, ..., an.
Решение
Предположим противное: существуют такие вещественные числа a1, a2, ..., an, что для каждого k (1 < k ≤ n) найдётся такое l (1 ≤ l < k), что больше среднего арифметического c всех этих чисел.
В частности, найдётся такое n1, что среднее арифметическое чисел от an1+1 до an больше c. Возьмём теперь k = n1; для него найдётся такое n2 (0 ≤ n2 < n1), что среднее арифметическое чисел от an2+1 до an1 больше c; если n2 > 0, то найдём но нему n3, и т.д. до тех пор, пока некоторое nr+1 не окажется нулём, то есть очередное среднее арифметическое будет браться от a1 до anr. Так как среднее арифметическое в каждой группе больше c, то и среднее арифметическое всех чисел больше c. Но c – среднее всех n чисел. Противоречие.
Замечания
Вычтем из каждого числа их среднее арифметическое c. Тогда задача сведётся к частному случаю, когда среднее арифметическое всех чисел равно нулю. После этого можно отбросить знаменатели и говорить уже не о средних, а о суммах чисел и их знаках, и задача становится простым следствием известного утверждения: если по окружности выписано несколько чисел, сумма которых равна нулю, то найдётся такое число, что оно само неотрицательно, сумма его со следующим по часовой стрелке неотрицательна, сумма его со следующими двумя неотрицательна и т.д. вплоть до суммы всех чисел. См. задачу 73617, где это доказано в несколько иной формулировке.
