Задача 73652
|
|
 |
Условие
Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут?
Решение
На рис. 1 изображен график, показывающий, что за 2,5 минуты улитка может проползти 4 м.
2(t – 1) м, если t – целое, и 2[t], если t – не целое.
Докажем, что это – максимальное перемещение улитки.
Пусть a1 – первый наблюдатель. Рассмотрим всех наблюдателей, которые начали следить за улиткой либо в тот момент, когда кончил a1, либо ещё раньше (по условию такие наблюдатели есть). Пусть a2 – последний из таких наблюдателей. Рассмотрим, далее, всех наблюдателей, начавших следить за улиткой не позже, чем кончил a2, и обозначим через a3 последнего из них. Аналогично выберем наблюдателя a4 и т.д. Очевидно, что в конце концов мы дойдём до наблюдателя, окончившего наблюдать как раз в конце последней минуты (если наблюдатель ak кончил наблюдать раньше, то имеются наблюдатели, начавшие следить позже, чем начал ak, а потому можно выбрать наблюдателя ak+1).
Пусть a1, a2, ..., ak – все выбранные таким образом наблюдатели. Ясно, что промежутки наблюдения a1, a3, a5, ... не пересекаются; точно так же не пересекаются промежутки, в которых следили наблюдатели a2, a4, a6, ...
Действительно, если бы, например, нашёлся момент времени, когда наблюдали a1 и a3, то это означало бы, что наблюдатель a2 выбран неправильно, так как a3 начал наблюдать позже, чем начал a2, но ещё до того, как кончил a1.
Так как промежутки наблюдения a1, a3, a5, ... не пересекаются, то этих наблюдателей за t минут меньше t. Поэтому если t – целое, их не больше
t – 1, а если t не целое, то не больше [t]. Тем же числом ограничивается количество наблюдателей "чётной группы": a2, a4, a6, ...
Так как выделенное множество наблюдателей покрывает весь интервал наблюдения, то улитка не могла проползти больше суммы перемещений, зафиксированных всеми наблюдателями, то есть больше 2(t – 1), если t – целое, и 2[t] – если не целое).
Оценим теперь число "нечётных" наблюдателей снизу. Если все зазоры между соседними нечётными наблюдателями меньше единицы, то число нечётных наблюдателей должно быть больше [t/2]. Это означает, что улитка не могла проползти путь, меньший [t/2] + 1. На рис.2 показано, как должна двигаться улитка, чтобы этот минимум был достигнут.
Ответ
[t/2] + 1 метр; 2(t – 1) метров, если t – целое, 2[t] метров, если t – не целое.
Замечания
Историю и обсуждение задачи см. в решениях задачника Кванта.
