Задача 73683

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Лопшиц А.Л.

Последовательность  x₀, x₁, x₂, ...  определена следующими условиями:  x₀ = 1,  x₁ = λ,  для любого  n > 1  выполнено равенство

(α + β)ⁿx_n = αⁿx_nx₀ + α^n–1βx_n–1x₁ + α^n–2β²x_n–2x₂ + ... + βⁿx₀x_n.

Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдите x_n и выясните, при каком n величина x_n наибольшая.

Решение

  Докажем по индукции, что    .   База  (n = 0, 1)  задана в условии.
  Шаг индукции. Пусть     для всех  k ≤ n – 1.  Тогда из равенств

следует, что    ,   поскольку общий множитель левой и правой частей положителен при  n > 1.

  Неравенство     эквивалентно неравенству  n ≤ λ.  Таким образом, при переходе от  n – 1  к n число x_n увеличивается, если
n < λ,  и уменьшается, если  n > λ.  Значит, наибольшее значение x_n принимает при  n = [λ];  если λ – целое число, то  x_λ–1 = x_λ  – два наибольших числа последовательности x_n.

Ответ

 ;   при  n = [λ].

Замечания

См. также статью В.Н. Вагутена "Числа C_n^k, последовательности и многочлены".

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М148