|
|
 |
Условие
Сумма n положительных чисел x1, x2, x3, ..., xn равна 1.
Пусть S – наибольшее из чисел
Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, ..., xn оно достигается?
Решение
Предположим, что положительные числа a1, a2, ..., an таковы, что a1 + a2 + ... + an = 1 и
(Ниже мы увидим, что такой набор a1, a2, ..., an действительно
существует.) Покажем, что при x1 = a1, x2 = a2, ..., xn = an величина S принимает наименьшее возможное значение.
Пусть b1, b2, ..., bn – другой набор положительных чисел, сумма которых равна 1. Ясно, что bk > ak для некоторого k. Пусть k – наименьший индекс с таким свойством, то есть b1 ≤ a1, b2 ≤ a2, ..., bk–1 ≤ ak–1, bk > ak, тогда
Таким образом, наибольшее из чисел больше
(наибольшего из чисел
).
Остается решить в положительных числах систему уравнений
x1 + x2 + ... + xn = 1,
Уравнение (для положительных x1, ..., xk) преобразуется к виду xk = (1 + x1 + ... + xk–1)x1, так что данная система эквивалентна системе
x2 = (1 + x1)x1,
x3 = (1 + x1 + x2)x1,
...
xn = (1 + x1 + x2 + ... + xn–1)x1,
x1 + x2 + ... + xn = 1,
которая в свою очередь эквивалентна системе
x2 = (1 + x1)x1,
x3 = (1 + x1)2x1,
...
xn = (1 + x1)n–1x1,
x1 + x2 + ... + xn = 1,
то есть числа x1, x2, ..., xn образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1 + x1 и суммой (1 + x1)n – 1. Теперь легко находится решение системы:
Ответ
при
