Задача 73716

Темы:    [ Остовы многогранных фигур ] [ Обходы многогранников ] [ Обход графов ] [ Степень вершины ] [ Перестройки ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см?
(Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на 90° и 180°, но ломать её нельзя.)

Решение

  Как согнуть каркас из проволоки длины 150 см, показано на рисунке.

  Предположим на время, что нам разрешается гнуть проволоку только в вершинах куба, и что какой-то каркас нами изготовлен, причём проволока
начинается и кончается в вершинах куба. Подсчитаем количество рёбер в этом каркасе. В каркасе есть ровно одна вершина, в которой проволока
начинается и одна, в которой проволока кончается (эти вершины могут и совпадать). Будем называть эти вершины концевыми, а все остальные –
проходными. Проволока, войдя в проходную вершину, обязательно должна из нее выйти. Значит, к такой вершине примыкает не меньше четырёх
рёбер. К концевой вершине примыкает не меньше трёх ребер. Поэтому всего рёбер не меньше чем  (6·4 + 2·3) : 2 = 15.  Таким образом, в каркасе
не меньше 15 рёбер, а так как длина одного ребра 10 см, то потребуется не менее 150 см проволоки.
  Теперь нужно доказать, что если гнуть проволоку во внутренних точках рёбер, то все равно менее чем из 150 см проволоки каркаса сделать нельзя.
Для этого покажем, что, не увеличивая длины проволоки, любой каркас можно перестроить так, что все сгибы окажутся в вершинах. Мы не будем
описывать этого перестроения, а только приведём несколько поясняющих его картинок (см. рис.).

Ответ

150 см.

Замечания

Ср. с задачей 30432.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М181