Задача 76439

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Касающиеся сферы ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Условие

В пространстве расположены 3 плоскости и шар. Сколькими различными способами можно поместить в пространстве второй шар так, чтобы он касался трёх данных плоскостей и первого шара? (В этой задаче речь фактически идёт о касании сфер, т.е. не предполагается, что шары могут касаться только внешним образом — прим. ред.)

Решение

Ответ: от 0 до 16 (в зависимости от расположения данных плоскостей и шара). Пусть O и R — центр и радиус данной сферы S. Предположим, что сфера S₁ с центром O₁ касается данной сферы и трёх данных плоскостей. Сопоставим сфере S₁ сферу S₁' с центром O₁ и радиусом O₁O. Сфера S₁' проходит через данную точку O и касается трёх плоскостей, удалённых от данных плоскостей на расстояние R. Для каждой плоскости есть ровно две плоскости, удалённых от неё на расстояние R. Поэтому сфера S₁' проходит через данную точку O и касается тройки плоскостей, причём есть 2³ = 8 различных таких троек. Легко проверить, что существует не более двух сфер, проходящих через данную точку и касающихся трёх данных плоскостей. В случае, когда три данные плоскости пересекаются в одной точке, это доказывается следующим образом. Впишем сферу в тот трёхгранный угол, который образован данными плоскостями и содержит данную точку. Проведём прямую, соединяющую данную точку и точку пересечения данных плоскостей. Искомые сферы соответствуют точкам пересечения этой прямой с данной сферой, а таких точек не более двух. Отдельно рассматривается случай, когда данная точка лежит на одной из данных плоскостей. Кроме того, нужно рассмотреть два более простых случая: 1) есть две параллельные плоскости и их пересекает третья плоскость; 2) прямые пересечения плоскостей параллельны. (Легко видеть, что если все три плоскости параллельны или пересекаются по одной прямой, то сфера не может касаться трёх таких плоскостей.) В итоге мы получаем, что существует не более 16 сфер S₁'. По сфере S₁' сфера S₁ восстанавливается не однозначно. Чтобы её восстановить, нужно взять точку O', в которой прямая OO₁ пересекает сферу S; сфера S₁ — это сфера с центром O₁ и радиусом O₁O'. Точек пересечения сферы с прямой, проходящей через её центр, две, поэтому мы получаем две сферы. Но лишь одна из них может касаться трёх данных плоскостей (вторая сфера касается других плоскостей). Поэтому существует не более 16 сфер, касающихся данной сферы и трёх данных плоскостей. Покажем теперь, что при различных расположениях данных плоскостей и данной сферы количество сфер, касающихся их, может быть любым целым числом от 0 до 16. Будем считать, что данные плоскости пересекаются по трём параллельным прямым, причём расстояния между этими прямыми попарно различны. Сферы, касающиеся трёх данных плоскостей, заметают четыре цилиндра, соответствующих вписанной и трём вневписанным окружностям треугольника, который образуется при пересечении данных плоскостей плоскостью, ортогональной всем трём данным плоскостям. Эти цилиндры не имеют общих точек, в том числе и точек касания. Рассмотрим цилиндр и точку вне его. Рассмотрим семейство сфер S_R с центром в выбранной точке. Нас интересуют сферы, вписанные в цилиндр и касающиеся сферы S_R. Если радиус R сферы S_R мал, то таких сфер нет. Будем увеличивать радиус R до тех пор, пока сфера S_R не коснётся цилиндра. В этом случае количество искомых сфер равно 1. Будем снова увеличивать радиус R. Когда сфера S_R пересечёт цилиндр, количество искомых сфер станет равно 2. Затем сфера S_R будет пересекать цилиндр и ещё касаться его в одной точке. В этом случае количество искомых сфер равно 3. Если же радиус R увеличить ещё больше, то количество искомых сфер будет равно 4. Эти замечания показывают, что если мы выберем точку вне данных четырёх цилиндров и рассмотрим семейство сфер S_R с центром в выбранной точке, то при постепенном увеличении радиуса R мы получим конфигурации, для которых число искомых сфер последовательно изменяется от 0 до 16. Нужно лишь позаботиться о том, чтобы не появлялись одновременно две точки касания сферы S_R с цилиндрами.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	2
Год	1936
вариант
Тур	2
задача
Номер	5