Условие
На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?
Решение
Пусть
an — наибольшее число частей, на которые разбивают сферу
n
окружностей,
bn — наибольшее число частей, на которые разбивают
пространство
n сфер. Ясно, что
a1 = 2 и
b1 = 2. Покажем, что
an =
an - 1 + 2(
n - 1) и
bn =
bn - 1 +
an - 1. Прежде всего заметим, что число
частей будет наибольшим в том случае, когда никакие три окружности не
пересекаются в одной точке и, соответственно, никакие четыре сферы не
пересекаются в одной точке и никакие три сферы не имеют общей окружности.
Действительно, иначе число частей всегда можно увеличить, слегка пошевелив
окружности (сферы). Пусть на сфере дано
n окружностей, никакие три из
которых не пересекаются в одной точке. Фиксируем одну из них. Оставшиеся
окружности разбивают сферу не более чем на
an - 1 частей, причём возможна
конфигурация, когда они разбивают сферу на
an - 1 частей. Фиксированная
окружность пересекает остальные окружности не более чем в 2
n - 2 точках, причём
случай, когда число точек пересечения равно 2
n - 2, возможен. Точки пересечения
разбивают фиксированную окружность на 2
n - 2 частей; каждая их этих частей
окружности добавляет одну новую часть разбиения сферы. Поэтому
an =
an - 1 + 2(
n - 1). Равенство
bn =
bn - 1 +
an - 1 доказывается аналогично.
Таким образом,
a2 = 4,
a3 = 8,
a4 = 14 и
b2 = 4,
b3 = 8,
b4 = 16,
b5 = 30.
Ответ
На 30 частей.
Источники и прецеденты использования