ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76460
Темы:    [ Пересекающиеся сферы ]
[ Окружности на сфере ]
[ Малые шевеления ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

Решение

Пусть an — наибольшее число частей, на которые разбивают сферу n окружностей, bn — наибольшее число частей, на которые разбивают пространство n сфер. Ясно, что a1 = 2 и b1 = 2. Покажем, что an = an - 1 + 2(n - 1) и bn = bn - 1 + an - 1. Прежде всего заметим, что число частей будет наибольшим в том случае, когда никакие три окружности не пересекаются в одной точке и, соответственно, никакие четыре сферы не пересекаются в одной точке и никакие три сферы не имеют общей окружности. Действительно, иначе число частей всегда можно увеличить, слегка пошевелив окружности (сферы). Пусть на сфере дано n окружностей, никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Фиксируем одну из них. Оставшиеся окружности разбивают сферу не более чем на an - 1 частей, причём возможна конфигурация, когда они разбивают сферу на an - 1 частей. Фиксированная окружность пересекает остальные окружности не более чем в 2n - 2 точках, причём случай, когда число точек пересечения равно 2n - 2, возможен. Точки пересечения разбивают фиксированную окружность на 2n - 2 частей; каждая их этих частей окружности добавляет одну новую часть разбиения сферы. Поэтому an = an - 1 + 2(n - 1). Равенство bn = bn - 1 + an - 1 доказывается аналогично. Таким образом, a2 = 4, a3 = 8, a4 = 14 и b2 = 4, b3 = 8, b4 = 16, b5 = 30.

Ответ

На 30 частей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 5
Год 1939
вариант
Тур 2
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .