Условие
Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом:
a1 — произвольное трёхзначное число,
a2 — сумма квадратов его цифр,
a3 — сумма квадратов цифр числа
a2 и т.д. Докажите, что в
последовательности
a1,
a2,
a3, ...обязательно встретится либо 1,
либо 4.
Решение
Прежде всего заметим, что
a2
9
2 . 3 = 243, а значит,
a32
2 + 9
2 . 2 = 166. Если
100
a3166, то
a41 + 6
2 + 9
2 = 118, а если
100
a4166, то
a52 + 64 < 100.
Поэтому достаточно проверить требуемое утверждение лишь для чисел, не
превосходящих 99. Это делается непосредственной проверкой. Мы будем
выписывать последовательность до тех пор пока не встретится 1, 4
или число, уже встречавшееся ранее. При этом мы будем учитывать, что
перестановка цифр и добавление (удаление) нуля не влияет на дальнейшие члены
последовательности. В результате получим следующие последовательности:
2, 4;
3, 9, 81, 65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4;
5, 25, 29, 85;
6, 36, 45, 41, 17, 50;
7, 49, 97, 130, 10;
8, 64, 42;
11, 2;
12, 5;
15, 26, 40;
19, 82, 68, 100;
27, 53, 34, 25;
33, 36;
35, 34;
38, 73;
39, 90;
44, 32;
47, 65;
48, 80;
55, 50;
57, 74;
59, 106;
66, 72;
67, 85;
69, 117, 51;
77, 98;
78, 113, 11;
88, 128, 69;
99, 162, 41.
Источники и прецеденты использования
