Задача 77971

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Условие

Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)

Решение

Пусть A, B, C — точки касания, A₁, B₁ и C₁ — центры данных окружностей, причём точки A, B и C лежат на отрезках B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ соответственно. Тогда A₁B = A₁C, B₁A = B₁C и C₁A = C₁B. Из этого следует, что A, B и C — точки касания вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ с его сторонами. Действительно, пусть A₁B = A₁C = x, B₁A = B₁C = y и C₁A = C₁B = z. Тогда, например, x = и для точек касания вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ со сторонами A₁B₁ и A₁C₁ такое соотношение тоже выполняется. В результате получаем, что радиусы A₁B, B₁C и C₁A данных окружностей касаются описанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	16
Год	1953
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	1