Задача 77976

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

A – вершина правильного звёздчатого пятиугольника. Ломаная AA'BB'CC'DD'EE' является его внешним контуром. Прямые AB и DE продолжены до пересечения в точке F. Докажите, что многоугольник ABB'CC'DED' равновелик четырёхугольнику AD'EF.

Решение

Ясно, что  AB || EC  и  AC || EF.  Поэтому ACEF – параллелограмм. В частности,  S_EFA = S_ACE.  Поскольку треугольники AED', ABB' и EDC' равны, имеем  S_{AA'BB'CC'DED'} = S_ACE – S_AED' + S_ABB' + S_EDC' = S_EFA + S_AED' = S_AD'EF.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	16
Год	1953
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	16
Год	1953
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4