ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77983
Темы:    [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

a, b, c и d — длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через S его площадь. Доказать, что

S$\displaystyle \le$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(a + b)(c + d ).


Решение

Разрежем четырёхугольник на два треугольника со сторонами a и d, b и c. В результате получим 2S$ \le$ad + bc. Остаётся доказать неравенство 2S$ \le$ac + bd. Для этого поступим следующим образом. Отрежем треугольник со сторонами c и d, перевернём его и приложим к треугольнику со сторонами a и b так, чтобы получился четырёхугольник с последовательными сторонами a, b, d и c. Полученный четырёхугольник можно разрезать на два треугольника со сторонами a и c, b и d. Поэтому 2S$ \le$ac + bd.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 16
Год 1953
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .