ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77984
Тема:    [ Признаки делимости (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.


Решение

Мы докажем это утверждение, заменив 1953 на произвольное натуральное число n, кратное 3. Пусть число  y = a1 + 10a2 + 102a³ + ... + 10n–1an = a1 + 10a  делится на 27. Достаточно доказать, что тогда число  a2 + 10a3 + ... + 10n–2an + 10n–1a1 = a + 10n–1a1  тоже делится на 27. Для этого достаточно проверить, что их разность  x = 9a + (1 – 10n–1)a1  делится на 27. Число x делится на 27 тогда и только тогда, когда число  10x = 90a + (10 – 10n)a1 = 9y + (1 – 10n)a1  делится на 27. Но если n кратно 3, то число  10n – 1 =   делится на 27.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 16
Год 1953
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 16
Год 1953
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .