Задача 78047

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Трёхчлен  ax² + bx + c  при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда  ax² + bx + c = (dx + e)².

Решение

Пусть  f(x) = ax² + bx + c. Тогда     поэтому     При целом x число     является целым, поэтому     – целое число. Кроме того, найдётся такое натуральное x₀, что при целых  x ≥ x₀  разность     равна своему предельному значению d. Положим     Тогда     при всех целых  x ≥ x₀.  Таким образом,  ax² + bx + c = (dx + e)²  для всех целых  x ≥ x₀.  Но тогда это равенство имеет место для всех x.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	1