Задача 78049
|
|
 |
Условие
Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1...An и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA1, ..., OAn.
а) При n = 9 найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A1OA2, ..., AnOA1 одинакова.
б) Доказать, что при n = 10 такой нумерации осуществить нельзя.
Решение
а) См. рис.
б) Сумма всех номеров сторон треугольников A1OA2, ..., AnOA1 равна 3(1 + 2 + ... + n) = 3/2 n(n + 1). Если для каждого из n треугольников сумма номеров сторон одна и та же, то она равна 3/2 n(n + 1). Но для n = 10 число 3/2 (n + 1) не целое.
