Задача 78076

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка O — центр круга, описанного около треугольника ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ симметричны точке O относительно сторон треугольника ABC. Докажите, что все высоты треугольника A₁B₁C₁ проходят через точку O, а все высоты треугольника ABC проходят через центр круга, описанного около треугольника A₁B₁C₁.

Решение

Пусть A₂, B₂, C₂ — середины сторон CB, BA, AC. Ясно, что OA₂BC и BC || B₂C₂ || B₁C₁. Поэтому OA₁B₁C₁, т.е. OA₁ — высота треугольника A₁B₁C₁. Аналогично доказывается, что OB₁ и OC₁ тоже являются высотами. Ясно также, что B₁C₁ = 2B₂C₂ = BC, поэтому BCB₁C₁ — параллелограмм. Это означает, что отрезки BB₁ и CC₁ пересекаются в точке P, которая является их серединой. Аналогично доказывается, что точка P является серединой отрезка AA₁. Таким образом, при симметрии относительно точки P треугольник ABC переходит в треугольник A₁B₁C₁. При этой симметрии точка O, которая является центром описанной окружности треугольника ABC и точкой пересечения высот треугольника A₁B₁C₁, переходит в точку, которая является центром описанной окружности треугольника A₁B₁C₁ и точкой пересечения высот треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	1