Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78076 (#1)

Темы:	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точка O — центр круга, описанного около треугольника ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ симметричны точке O относительно сторон треугольника ABC. Докажите, что все высоты треугольника A₁B₁C₁ проходят через точку O, а все высоты треугольника ABC проходят через центр круга, описанного около треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 78077 (#2)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Итерации	]
	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Последовательности и ряды функций	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Точки A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из A₁ провёден луч l₁ в направлении A₂, из A₂ – луч l₂ в направлении A₃, ..., из A₆ – луч l₆ в направлении A₁. Из точки B₁, взятой на луче l₁, опускается перпендикуляр на луч l₆, из основания этого перпендикуляра опускается перпендикуляр на l₅ и т. д. Основание шестого перпендикуляра совпало с B₁. Найти отрезок B₁A₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78078 (#3)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

100 чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, выписаны в ряд. Подчеркнуто, во-первых, каждое положительное число, а во-вторых, каждое число, сумма которого со следующим положительна. Может ли сумма всех подчеркнутых чисел оказаться отрицательной? Равной нулю?

Прислать комментарий Решение

Задача 78079 (#4)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78080 (#5)

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Итерации	]

Сложность: 6
Классы: 8,9

На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15 площади стола. (Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]