Задача 78079
|
|
 |
Условие
64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.
Решение
Пусть S – сумма чисел в некотором столбце. Сумма чисел в строке, симметричной этому столбцу относительно выделенной диагонали, тоже равна S, а сумма всех чисел, стоящих в этом столбце и этой строке, равна 2S – s, где s – число, стоящее на их пересечении. Значит, 2S – s ≤ 1956. Число s стоит на выделенной диагонали, поэтому s ≤ 112. Следовательно, 2S ≤ 1956 + 112 = 2068.
Замечания
Ср. с задачей 78082.
