Задача 78094

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Известно, что  ax³ + bx² + cx + d,  где a, b, c, d – данные целые числа, при любом целом x делится на 5. Доказать, что все числа a, b, c, d делятся на 5.

Решение

Подставив  x = 0,  получим, что d кратно 5. Учитывая это и подставляя  x = ±1,  получим, что  a + b + c  и  – a + b – c кратны 5. Следовательно, 2b и
2a + 2c  кратны 5, а значит, b и a + c кратны 5. Подставив  x = 2,  получим, что  2(4a + c) + 4b + d = 6а + 2(a + c) + 4b + d  кратно 5. Значит, a кратно 5, а следовательно, и c кратно 5.

Замечания

Ср. с задачей 78101.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	20
Год	1957
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	2