ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78257
Тема:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрате ABCD на стороне AB взята точка P, на стороне BC — точка Q, на стороне CD — точка R, на стороне DAS; оказалось, что фигура PQRS — прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник PQRS — либо квадрат, либо обладает тем свойством, что его стороны параллельны диагоналям квадрата.

Решение

Рассмотрим треугольники APS и BQP. Так как AP $ \perp$ BQ и PS $ \perp$ PQ, то $ \angle$APS = $ \angle$BQP и $ \angle$ASP = $ \angle$BPQ. Аналогично, $ \angle$BQP = $ \angle$CRQ = $ \angle$DSR и $ \angle$BPQ = $ \angle$CQR = $ \angle$DRS. Поскольку в прямоугольнике противоположные стороны равны, то справедливы соотношения: PQ = RS и QR = PS, откуда вытекают равенства: $ \triangle$BPQ = $ \triangle$DRS и $ \triangle$APS = $ \triangle$CQR. Следовательно, AP = CR = х, BP = DR = 1 - х; AS = CQ = y, DS = ВQ = 1 - у (мы считаем здесь сторону квадрата равной 1). Выписанные соотношения верны, таким образом, для любого прямоугольника PQRS, вписанного в квадрат ABCD. Пусть теперь Р и R — любые такие точки на сторонах AB и CD соответственно, что AP = CR = х, BP = DR = 1 - х. Если мы выберем точки Q и S на сторонах BC и AD таким образом, чтобы выполнялись соотношения:

CQ = AS = х,    BQ = DS = 1 - х, (90)

или

BQ = DS = х,    CQ = AS = 1 - х, (91)

то в том и другом случае фигура PQRS будет представлять собой прямоугольник (проверьте!). В первом случае его стороны будут параллельны диагоналям квадрата, во втором случае он сам будет квадратом. Заметим теперь, что у любого другого прямоугольника, вписанного в квадрат ABCD, вершины которого Р и R лежат на сторонах AB и CD (соответственно), две другие вершины должны лежать на окружности, построенной на отрезке PR, как на диаметре, — каждая на своей полуокружности. Каждая из этих полуокружностей пересекает соответствующую сторону квадрата не более, чем в двух точках; значит, больше двух прямоугольников, вписанных в квадрат, с вершинами в точках Р и R, не существует. Вместе с тем два таких прямоугольника мы уже построили выше. Тем самым утверждение доказано.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .