ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 78257
УсловиеВ квадрате ABCD на стороне AB взята точка P, на стороне BC — точка Q, на стороне CD — точка R, на стороне DA — S; оказалось, что фигура PQRS — прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник PQRS — либо квадрат, либо обладает тем свойством, что его стороны параллельны диагоналям квадрата.РешениеРассмотрим треугольники APS и BQP. Так как AP BQ и PS PQ, то APS = BQP и ASP = BPQ. Аналогично, BQP = CRQ = DSR и BPQ = CQR = DRS. Поскольку в прямоугольнике противоположные стороны равны, то справедливы соотношения: PQ = RS и QR = PS, откуда вытекают равенства: BPQ = DRS и APS = CQR. Следовательно, AP = CR = х, BP = DR = 1 - х; AS = CQ = y, DS = ВQ = 1 - у (мы считаем здесь сторону квадрата равной 1). Выписанные соотношения верны, таким образом, для любого прямоугольника PQRS, вписанного в квадрат ABCD. Пусть теперь Р и R — любые такие точки на сторонах AB и CD соответственно, что AP = CR = х, BP = DR = 1 - х. Если мы выберем точки Q и S на сторонах BC и AD таким образом, чтобы выполнялись соотношения:или то в том и другом случае фигура PQRS будет представлять собой прямоугольник (проверьте!). В первом случае его стороны будут параллельны диагоналям квадрата, во втором случае он сам будет квадратом. Заметим теперь, что у любого другого прямоугольника, вписанного в квадрат ABCD, вершины которого Р и R лежат на сторонах AB и CD (соответственно), две другие вершины должны лежать на окружности, построенной на отрезке PR, как на диаметре, — каждая на своей полуокружности. Каждая из этих полуокружностей пересекает соответствующую сторону квадрата не более, чем в двух точках; значит, больше двух прямоугольников, вписанных в квадрат, с вершинами в точках Р и R, не существует. Вместе с тем два таких прямоугольника мы уже построили выше. Тем самым утверждение доказано. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|