Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1961 год
>>
7 класс, 2 тур
Фильтр
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Стороны произвольного выпуклого многоугольника покрашены снаружи. Проводится
несколько диагоналей многоугольника, так, что никакие три не пересекаются в
одной точке. Каждая из этих диагоналей тоже покрашена с одной стороны, т.е. с
одной стороны отрезка проведена узкая цветная полоска. Доказать, что хотя бы
один из многоугольников, на которые разбит диагоналями исходный многоугольник,
весь покрашен снаружи.
В квадрате ABCD на стороне AB взята точка P, на стороне BC — точка
Q, на стороне CD — точка R, на стороне DA — S; оказалось, что
фигура PQRS — прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник PQRS —
либо квадрат, либо обладает тем свойством, что его стороны параллельны
диагоналям квадрата.
Доказать, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно
найдётся такое, у которого сумма цифр делится на 11.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78256 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 78257 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78258 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78259 (#4) |
|
|
Дана таблица 4×4 клетки, в некоторых клетках которой поставлено по звёздочке. Показать, что можно так расставить семь звёздочек, что при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была бы хотя бы одна звёздочка. Доказать, что если звёздочек меньше, чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.
|
|
|
Решение |
Задача 78260 (#5) |
|
|
Доказать, что не существует целых чисел a, b, c, d, удовлетворяющих равенствам:
abcd – a = 1961,
abcd – b = 961,
abcd – c = 61,
abcd – d = 1.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
