Условие
Доказать, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно
найдётся такое, у которого сумма цифр делится на 11.
Решение
Предположим, что утверждение задачи не верно. Обозначим сумму цифр числа
n
через
S(
n). Среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно
найдётся не менее трёх делящихся на 10; пусть
a минимальное из них. При этом
получаем, что среди данных 39 чисел также есть и
a + 1,...,
a + 29. Поскольку
a делится на 10, то
S(
a + 1) =
S(
a) + 1,
S(
a + 2) =
S(
a) + 2,...,
S(
a + 9) =
S(
a) + 9.
Поэтому среди чисел
a,
a + 1,...,
a + 9 не встречается число, сумма цифр
которого делится на 11, только если
S(
a)
1 mod 11. При этом если
a + 10 не делится на 100, то
S(
a + 10) =
S(
a) + 1, а значит, среди чисел
a + 10,
a + 11,...,
a + 19 найдётся такое, что сумма его цифр делится на 11.
Получили противоречие. Осталось рассмотреть случай, когда
a + 10 делится на
100. Но тогда заметим, что
S(
a + 20) =
S(
a + 10) + 1, а значит, аналогично
первому случаю среди чисел
a + 10,
a + 11,...,
a + 29 найдётся число, сумма цифр
которого делится на 11. Опять получили противоречие, значит, утверждение
задачи верно.
Источники и прецеденты использования
