Условие
С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами
r1,
r2,
r3,
r4, причём
r1 +
r3 =
r2 +
r4 <
d;
d — диагональ
прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и
2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми,
можно вписать окружность.
Решение
Пусть
O — точка пересечения диагоналей. Возьмём внешнюю касательную к
окружностям 1 и 3 и опустим на неё перпендикуляры из точки
O и из центров
окружностей 1 и 3. В результате получим трапецию, в которой проведена средняя
линия. Длина этой средней линии равна
. Аналогичные
рассуждения показывают, что расстояния от точки
O до всех четырёх
проведённых внешних касательных равны, поэтому
O — центр вписанной
окружности.
Источники и прецеденты использования