ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78262
Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами r1, r2, r3, r4, причём r1 + r3 = r2 + r4 < d; d — диагональ прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Возьмём внешнюю касательную к окружностям 1 и 3 и опустим на неё перпендикуляры из точки O и из центров окружностей 1 и 3. В результате получим трапецию, в которой проведена средняя линия. Длина этой средней линии равна $ {\frac{r_1+r_3}{2}}$. Аналогичные рассуждения показывают, что расстояния от точки O до всех четырёх проведённых внешних касательных равны, поэтому O — центр вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .