ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78263
Темы:    [ Рекуррентные соотношения ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана четвёрка ненулевых чисел a, b, c, d. Из неё получается новая ab, bc, cd, da по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка a, b, c, d, кроме случая, когда a = b = c = d = 1.

Решение

Пусть, напротив, где-нибудь в построенной последовательности встретилась четвёрка (а, b, с, d). Покажем, что в этом случае все числа данной четвёрки положительны. Пусть сперва в четвёрке имеется одно отрицательное число, т. е. знаки в ней расположены так (с точностью до циклической перестановки):

+   +   +   - .

Рассмотрим тогда первые пять шагов исследуемого процесса:

1.  +   +   +   -     2.  +   +   -   -     3.  +   -   +   -     4.  -   -   -   -     5.  +   +   +   + .

Мы видим, что ни на каком шагу не получается четвёрка, содержащая одно отрицательное число (как исходная), а после пятого шага вообще все числа становятся положительными. Заметим, что мы попутно разобрали случай двух отрицательных членов: эти случаи соответствуют второму и третьему шагам разобранного примера (отрицательные числа стоят в четвёрке рядом или не рядом). Мы видели, что и в этих случаях повторения не возникает. Случай четырёх отрицательных чисел также разобран (четвёртый шаг примера). Осталось рассмотреть тот случай, когда лишь одно число в четвёрке положительно:

1.  +   -   -   -     2.  -   +   +   -     3.  -   +   -   +     4.  -   -   -   -     5.  +   +   +   + .

-->

1. 0, а, b, с;    2. 0, abbc, 0;    3. 0, аb2с, 0, 0;    4. 0, 0, 0, 0.

Рассмотрим теперь произведение чисел каждой четвёрки. У первой четвёрки оно равно abcd, у второй (abcd )2, у третьей (abcd )4. Вообще у n -й четвёрки произведение чисел равно (abcd )2n - 1. Пусть теперь какие-то две различные четвёрки — с номерами k и l — совпадают. Отсюда следует, что (abcd )2k - 1 = (abcd )2l - 1 и, значит, abcd = 1. Рассмотрим далее любую четвёрку m, n, р, q из нашей последовательности. Произведение её чисел равно, как мы видели, 1: mnрq = 1. Из двух положительных чисел mn > 0 и рq > 0, произведение которых равно 1, одно, очевидно, должно быть не больше 1, а другое — не меньше 1. Пусть, для определённости, mn = $ \alpha$$ \ge$1, рq = $\displaystyle {\frac{1}{\alpha}}$$\displaystyle \le$1. Точно так же обстоит дело с числами nр и mq. Пусть nр = $ \beta$$ \ge$1, mq = $\displaystyle {\frac{1}{\beta}}$$\displaystyle \le$1 и пусть, для определённости, $ \alpha$$ \ge$$ \beta$. Рассмотрим следующие три четвёрки:


m n p q
mn = $ \alpha$ np = $ \beta$ pq = $\displaystyle {\frac{1}{\alpha}}$ mq = $\displaystyle {\frac{1}{\beta}}$
$ \alpha$$ \beta$ $\displaystyle {\frac{\beta}{\alpha}}$ $\displaystyle {\frac{1}{\alpha\beta}}$ $\displaystyle {\frac{\alpha}{\beta}}$
$ \beta^{2}_{}$ $\displaystyle {\frac{1}{\alpha^{2}}}$ $\displaystyle {\frac{1}{\beta^{2}}}$ $ \alpha^{2}_{}$.

В последней четвёрке наибольшее число равно, очевидно, $ \alpha^{2}_{}$, что не меньше $ \alpha$, так как $ \alpha$$ \ge$1. В предыдущей четвёрке наибольшее число равно $ \alpha$$ \beta$, что также не меньше $ \alpha$. Мы видим, что наибольшее число в четвёрке с каждым шагом увеличивается, если $ \alpha$$ \ne$1 и $ \beta$$ \ne$1. Пусть теперь первая четвёрка совпала с некоторой четвёркой x, y, z, v. Если это — вторая четвёрка, то мы имеем: a = x = ab, b = у - bc, с = z = cd, d = v = ad, откуда b = c = d = a = l. Если же это — любая другая четвёрка, то, как мы видели, начиная со второй, четвёрки, наибольшее число в четвёрке увеличивается, если $ \alpha$$ \ne$1 и $ \beta$$ \ne$1. Допустить увеличения этого наибольшего числа мы не можем, так как в итоге у нас должна получиться четвёрка, равная исходной. Следовательно, $ \alpha$ = 1, $ \beta$ = 1, и, начиная со второй, все четвёрки состоят из единиц, в том числе и та четвёрка, которая совпадает с первой. Тем самым утверждение доказано.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .