ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 78263
УсловиеДана четвёрка ненулевых чисел a, b, c, d. Из неё получается новая ab, bc, cd, da по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка a, b, c, d, кроме случая, когда a = b = c = d = 1.РешениеПусть, напротив, где-нибудь в построенной последовательности встретилась четвёрка (а, b, с, d). Покажем, что в этом случае все числа данной четвёрки положительны. Пусть сперва в четвёрке имеется одно отрицательное число, т. е. знаки в ней расположены так (с точностью до циклической перестановки):
+ + + - .
Рассмотрим тогда первые пять шагов
исследуемого процесса:
1. + + + - 2. + + - - 3. + - + - 4. - - - - 5. + + + + .
Мы видим, что ни
на каком шагу не получается четвёрка, содержащая одно отрицательное число
(как исходная), а после пятого шага вообще все числа становятся
положительными.
Заметим, что мы попутно разобрали случай двух отрицательных членов: эти
случаи соответствуют второму и третьему шагам разобранного примера
(отрицательные числа стоят в четвёрке рядом или не рядом). Мы видели, что и в
этих случаях повторения не возникает. Случай четырёх отрицательных чисел
также разобран (четвёртый шаг примера). Осталось рассмотреть тот случай,
когда лишь одно число в четвёрке положительно:
1. + - - - 2. - + + - 3. - + - + 4. - - - - 5. + + + + .
-->
1. 0, а, b, с; 2. 0, ab, bc, 0; 3. 0, аb2с, 0, 0; 4. 0, 0, 0, 0.
Рассмотрим теперь произведение чисел каждой четвёрки. У первой четвёрки оно
равно abcd, у второй
(abcd )2, у третьей
(abcd )4. Вообще у n -й
четвёрки произведение чисел равно
(abcd )2n - 1. Пусть теперь какие-то
две различные четвёрки — с номерами k и l — совпадают. Отсюда
следует, что
(abcd )2k - 1 = (abcd )2l - 1 и, значит, abcd = 1.
Рассмотрим далее любую четвёрку m, n, р, q из нашей
последовательности. Произведение её чисел равно, как мы видели, 1: mnрq = 1.
Из двух положительных чисел mn > 0 и рq > 0, произведение которых равно
1, одно, очевидно, должно быть не больше 1, а другое — не меньше 1. Пусть,
для определённости,
mn = 1,
рq = 1. Точно так же обстоит дело с числами nр и mq. Пусть
nр = 1,
mq = 1 и пусть, для определённости,
. Рассмотрим следующие три четвёрки:
Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|