Условие
Даны два пересекающихся луча
AС и
BD. На этих лучах выбираются точки
M и
N (соответственно) так, что
AM =
BN. Найти положение точек
M и
N, при котором длина отрезка
MN минимальна.
Решение
Проведём через точку
M прямую, параллельную
BN, и возьмём на ней такую
точку Р, что
BP ||
MN. Так как
BPMN — параллелограмм, и
MA,
по условию, равно
BN, то мы получаем:
AM =
MP, т. е. треугольник
AMP —
равнобедренный. Обозначим через
угол между данными лучами (и,
значит, между прямыми
AM и
MP). В таком случае
MAP =
.
Мы видим, что
MAP не зависит от
положения точки
M на луче
AO. Это значит, что точка
P всегда лежит на
некоторой вполне определённой прямой (составляющей угол
=
с данным лучом
AO).
Заметим теперь, что
PB =
MN, а мы ищем такое положение точки
M, что
отрезок
MN минимален. Это, очевидно, произойдёт в том случае, когда
PB 
AP, что и определяет выбор точки Р, а следовательно, и точки
M.
Источники и прецеденты использования
