Задача 78294
|
|
 |
Условие
В окружность вписан неправильный n-угольник, который при повороте окружности около центра на некоторый угол α ≠ 2π совмещается сам с собой. Доказать, что n – число составное.
Решение
Предположим, что n – простое число. Рассмотрим орбиту каждой вершины, т. е. множество точек, в которые переходит вершина при поворотах, переводящих n-угольник в себя. Все орбиты состоят из одного количества вершин – их столько, сколько геометрически различных углов поворота, совмещающих n-угольник с собой. Из этого следует, что орбита одна, поскольку n – простое. Но тогда каждые две вершины можно совместить поворотом, а значит, все стороны и все углы многоугольника равны, то есть n-угольник – правильный. Противоречие.
