Условие
Дан произвольный треугольник
ABC и такая прямая
l, пересекающая
треугольник, что расстояние от неё до точки
A равно сумме расстояний до этой прямой от точек
B и
C (причем
B и
C лежат по одну сторону от
l). Доказать, что все такие прямые проходят через одну
точку.
Решение
Пусть
l — данная прямая. Рассмотрим проекцию на прямую
l',
перпендикулярную
l. Прямая
l при этой проекции переходит в точку
O, для
которой
+
+
=
,
где
A',
B' и
C' — проекции вершин треугольника. Если
M — точка
пересечения медиан треугольника
ABC, а
M' — её проекция, то
+
+
=
,
поэтому
M' = 0. Это означает, что прямая
l проходит через точку
M.
Источники и прецеденты использования
