Задача 78491
|
|
 |
Условие
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, ..., 1963 так, чтобы сумма каждых двух выбранных чисел делилась на 26?
Решение
Ясно, что это число больше 2. Если x + y ≡ y + z ≡ 0 (mod 26), то x ≡ z (mod 26). Поэтому если чисел больше трёх, то они все сравнимы между собой по модулю 26. Отсюда следует, что для любого из выбранных чисел 2x ≡ 0 (mod 26). Значит, либо все числа кратны 26, либо все они сравнимы с 13 по модулю 26. Поскольку 1963 = 75·26 + 13, то чисел первого типа будет 75, а чисел второго типа – 76.
Ответ
76 чисел.
