Условие
Через противоположные вершины
A и
C четырёхугольника
ABCD проведена
окружность, пересекающая стороны
AB,
BC,
CD и
AD соответственно в
точках
M,
N,
P и
Q. Известно, что
BM = BN = DP = DQ = R , где
R — радиус данной окружности.
Доказать, что в таком случае сумма углов
B и
D данного четырёхугольника
равна
120
o.
Решение
Пусть
O – центр данной окружности. Из условия следует, что
OMBN и
OPDQ – ромбы.
Поэтому
AMO= B и
AQO= D . Поэтому
A= OAM+ OAQ= OMA+ OQA= B+ D . Аналогично,
C= B+ D . Поскольку
A+ B+ C+ D=360
o ,
то
B+ C=120
o .
Источники и прецеденты использования
