Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78528 (#1)

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
Темы:	[	Хорды и секущие (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8

На отрезке AB выбрана произвольно точка C и на отрезках AB, AC и BC, как на диаметрах, построены окружности Ω₁, Ω₂ и Ω₃. Через точку C проводится произвольная прямая, пересекающая окружность Ω₁ в точках P и Q, а окружности Ω₂ и Ω₃ в точках R и S соответственно. Доказать, что PR = QS.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78529 (#2)

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Собрались 2n человек, каждый из которых знаком не менее чем с n присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми (n $\ge$ 2).

Прислать комментарий Решение

Задача 78530 (#3)

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Разные задачи на разрезания	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

В квадрате со стороной длины 1 выбрано 102 точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Доказать, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем 1/100.

Прислать комментарий Решение

Задача 78531 (#4)

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Через противоположные вершины A и C четырёхугольника ABCD проведена окружность, пересекающая стороны AB, BC, CD и AD соответственно в точках M, N, P и Q. Известно, что BM = BN = DP = DQ = R , где R — радиус данной окружности. Доказать, что в таком случае сумма углов B и D данного четырёхугольника равна 120^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 78532 (#5)

Тема:

[

Разбиения на пары и группы; биекции

]

Сложность: 3+
Классы: 7

При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)² + 3x + y = 2a?

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]